与えられた不等式 $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ が成り立つことを証明する問題です。ただし、$a > 0$ かつ $b > 0$とします。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ が成り立つことを証明する問題です。ただし、$a > 0$ かつ $b > 0$とします。

2. 解き方の手順

まず、$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、相加平均と相乗平均の関係より、以下の不等式が成り立ちます。

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

この不等式の両辺の逆数をとると、以下のようになります。

$\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

両辺に $ab$ を掛けると、

$\frac{2ab}{a+b} \leq \frac{ab}{\sqrt{ab}}$

ここで、$ab = \sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}$ であるから、

$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$

したがって、$\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ が示されました。

3. 最終的な答え

$\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$