$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{9}{a} \geq 6$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{9}{a} \geq 6$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の不等式を利用します。$a > 0$ なので、相加平均・相乗平均の不等式より、

$$a + \frac{9}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{9}{a}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$$

よって、$a + \frac{9}{a} \geq 6$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a = \frac{9}{a}$ のときです。このとき、$a^2 = 9$ となり、$a > 0$ なので、$a = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a + \frac{9}{a} \geq 6$ が成立する。等号が成り立つのは $a = 3$ のとき。