実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A=\{x \mid -1 \le x < 5\}$、集合 $B=\{x \mid -3 < x \le 4\}$、集合 $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup \overline{C}$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A=\{x \mid -1 \le x < 5\}$、集合 $B=\{x \mid -3 < x \le 4\}$、集合 $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup \overline{C}$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A} = \{x \mid x < -1 \text{ または } x \ge 5\}$

$\overline{B} = \{x \mid x \le -3 \text{ または } x > 4\}$

次に、$C = \overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

$C = \{x \mid x \le -3 \text{ または } x < -1 \text{ または } x > 4 \text{ または } x \ge 5\}$

$C = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

次に、$A \cap C$ を求める。

$A \cap C = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cap \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

$A \cap C = \{x \mid 4 < x < 5\}$

次に、$\overline{C}$ を求める。

$\overline{C} = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$

次に、$A \cup \overline{C}$ を求める。

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cup \{x \mid -1 \le x \le 4\}$

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\}$

3. 最終的な答え

$A \cap C = \{x \mid 4 < x < 5\}$

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\}$