(1) 対数の定義から導かれる関係式を選択する問題。 (2) 対数の値が有理数か無理数かを考察する問題。具体的には、$\log_5 25$, $\log_9 27$の値を求め、$\log_2 3$が無理数であることを証明し、$a, b$が2以上の自然数のとき、$\log_a b$が無理数となる条件を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 対数の定義から導かれる関係式を選択する問題。

(2) 対数の値が有理数か無理数かを考察する問題。具体的には、$\log_5 25$, $\log_9 27$の値を求め、$\log_2 3$が無理数であることを証明し、$a, b$が2以上の自然数のとき、$\log_a b$が無理数となる条件を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 対数の定義 $y = \log_a x$ は $a^y = x$ と同値である。したがって、$x = \log_a b$ は $a^x = b$ となる。

(2)(i)

$\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2 \log_5 5 = 2$.

$\log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2}$.

(2)(ii)

$\log_2 3 = \frac{p}{q}$より、$2^{\frac{p}{q}} = 3$となる。両辺を$q$乗すると、 $2^p = 3^q$ となる。

ここで、2は偶数、3は奇数である。$2^p$は偶数、$3^q$は奇数なので、$2^p = 3^q$を満たす自然数$p, q$は存在しない。

したがって、$\log_2 3$は無理数である。

(2)(iii)

$\log_a b$が有理数であると仮定すると、$\log_a b = \frac{p}{q}$ (p, qは自然数)と表せる。このとき、$a^{\frac{p}{q}} = b$となる。両辺を$q$乗すると、$a^p = b^q$となる。

もし、$a$が偶数で$b$が奇数ならば、$a^p$は偶数、$b^q$は奇数なので、$a^p = b^q$を満たす自然数$p, q$は存在しない。同様に、$a$が奇数で$b$が偶数ならば、$a^p$は奇数、$b^q$は偶数なので、$a^p = b^q$を満たす自然数$p, q$は存在しない。

したがって、$a$と$b$のいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数ならば、$\log_a b$は無理数となる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 3/2

エ: 3/2

オ: 5

カ: 5