問題は、与えられた不等式 $\frac{a+b}{2ab} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つかどうかを調べることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた不等式 $\frac{a+b}{2ab} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つかどうかを調べることです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

両辺に $2ab$ をかけると、

$a+b \geq 2ab\sqrt{ab}$

$a+b \geq 2(ab)^{\frac{3}{2}}$

ここで相加相乗平均の関係を使うことを考えます。$a, b > 0$ であると仮定すると、

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

が成り立ちます。

したがって、$a+b \geq 2\sqrt{ab}$ です。

与えられた不等式との比較を容易にするために、

$2\sqrt{ab} \geq 2(ab)^{\frac{3}{2}}$

が成り立つかどうかを考えます。

両辺を2で割ると、

$\sqrt{ab} \geq (ab)^{\frac{3}{2}}$

両辺を$\sqrt{ab}$で割ると、(ただし$ab \ne 0$)

$1 \geq ab$

つまり、$0 < ab \leq 1$ であれば、$\sqrt{ab} \geq (ab)^{\frac{3}{2}}$ が成り立ちます。

しかし、一般に、$a+b \geq 2(ab)^{\frac{3}{2}}$ は成り立ちません。反例として、$a=2, b=2$ を考えると、$a+b = 4$ であり、$2(ab)^{\frac{3}{2}} = 2(4)^{\frac{3}{2}} = 2(8) = 16$ なので、$4 \geq 16$ は成り立ちません。

与えられた不等式 $\frac{a+b}{2ab} \geq \sqrt{ab}$ を変形すると、$\frac{a+b}{2} \geq (ab)\sqrt{ab} = (ab)^{\frac{3}{2}}$ となります。相加相乗平均の不等式から $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ がわかります。したがって、$\sqrt{ab} \geq (ab)^{\frac{3}{2}}$ が成立すればよいです。この不等式は $1 \geq ab$ と同値です。つまり、$0 < ab \leq 1$ が成り立つ場合に、与えられた不等式は成り立ちます。しかし、$ab > 1$ の場合は不等式は成り立ちません。

3. 最終的な答え

与えられた不等式は、常に成り立つわけではありません。$0 < ab \leq 1$ の場合にのみ成り立ちます。