与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{7}$ と見て、$(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{7}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}} = \frac{1}{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{7}} \cdot \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{7}}{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{7}}$

$= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}{(2 + 2\sqrt{10} + 5) - 7}$

$= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}{7 + 2\sqrt{10} - 7} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}{2\sqrt{10}}$

次に、分母の有理化のために $\sqrt{10}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}{2\sqrt{10}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}) \cdot \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{20} + \sqrt{50} - \sqrt{70}}{2 \cdot 10}$

$= \frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2} - \sqrt{70}}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - \sqrt{70}}{20}$