与えられた6つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で答えを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で答えを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{12} - (\sqrt{15} - \sqrt{5}) \div \sqrt{5}$

まず、$\sqrt{12}$ を簡単にします。$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

次に、$(\sqrt{15} - \sqrt{5}) \div \sqrt{5}$ を計算します。

$(\sqrt{15} - \sqrt{5}) \div \sqrt{5} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} - 1 = \sqrt{3} - 1$

したがって、$2\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$

分配法則を使って展開します。

$\sqrt{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5}) = \sqrt{6} + \sqrt{15}$

$\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1) = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

したがって、$\sqrt{6} + \sqrt{15} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \sqrt{6} + \sqrt{15} - \sqrt{6} - \sqrt{2} = \sqrt{15} - \sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{20} - 3}{\sqrt{5}}$

まず、$\sqrt{20}$ を簡単にします。$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

したがって、$\frac{2\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{(2\sqrt{5} - 3)\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{5} - 3\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \times 5 - 3\sqrt{5}}{5} = \frac{10 - 3\sqrt{5}}{5} = 2 - \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(4) $\sqrt{3}(4\sqrt{2} - \sqrt{48}) - \frac{18}{\sqrt{6}}$

$\sqrt{48}$を簡単にします。$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}(4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{6} - 4 \times 3 = 4\sqrt{6} - 12$

$\frac{18}{\sqrt{6}}$を簡単にするために、分母を有理化します。$\frac{18\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

したがって、$4\sqrt{6} - 12 - 3\sqrt{6} = \sqrt{6} - 12$

(5) $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 - \sqrt{2}(3\sqrt{2} - 6)$

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{9 \times 2} = 9 - 2 \times 3\sqrt{2} = 9 - 6\sqrt{2}$

$\sqrt{2}(3\sqrt{2} - 6) = 3 \times 2 - 6\sqrt{2} = 6 - 6\sqrt{2}$

したがって、$9 - 6\sqrt{2} - (6 - 6\sqrt{2}) = 9 - 6\sqrt{2} - 6 + 6\sqrt{2} = 3$

(6) $(2\sqrt{5} - 1)^2 - (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 3)$

$(2\sqrt{5} - 1)^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(1) + 1^2 = 4 \times 5 - 4\sqrt{5} + 1 = 20 - 4\sqrt{5} + 1 = 21 - 4\sqrt{5}$

$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 3) = (\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{5} - \sqrt{5} + 3 = 5 - 4\sqrt{5} + 3 = 8 - 4\sqrt{5}$

したがって、$21 - 4\sqrt{5} - (8 - 4\sqrt{5}) = 21 - 4\sqrt{5} - 8 + 4\sqrt{5} = 13$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{15} - \sqrt{2}$

(3) $2 - \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(4) $\sqrt{6} - 12$

(5) $3$

(6) $13$