次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{4}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{4}$

2. 解き方の手順

$\cos \frac{n \pi}{4}$ は $-1$ から $1$ の間の値をとるため、

$-1 \le \cos \frac{n \pi}{4} \le 1$

が成り立ちます。

この不等式の各辺を $n$ で割ると、

$-\frac{1}{n} \le \frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{4} \le \frac{1}{n}$

となります。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{4} = 0$

3. 最終的な答え

0