定積分 $\int_{-1}^{0} 3x^2(x^3+1)^5 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} 3x^2(x^3+1)^5 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = x^3 + 1$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = -1$ のとき、$u = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$

$x = 0$ のとき、$u = (0)^3 + 1 = 0 + 1 = 1$

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{1} u^5 du$

次に、積分を実行します。

$\int_{0}^{1} u^5 du = \left[ \frac{1}{6} u^6 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}(1^6 - 0^6) = \frac{1}{6}(1 - 0) = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$