与えられた積分方程式 $f(x) = e^x - \int_{0}^{1} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた積分方程式 $f(x) = e^x - \int_{0}^{1} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、$C = \int_{0}^{1} f(t) dt$ とおく。

すると、関数 $f(x)$ は $f(x) = e^x - C$ と表せる。

この $f(x)$ を積分 $C = \int_{0}^{1} f(t) dt$ に代入する。

$C = \int_{0}^{1} (e^t - C) dt$

$C = \int_{0}^{1} e^t dt - \int_{0}^{1} C dt$

$C = [e^t]_{0}^{1} - [Ct]_{0}^{1}$

$C = (e^1 - e^0) - (C - 0)$

$C = e - 1 - C$

$2C = e - 1$

$C = \frac{e - 1}{2}$

したがって、$f(x) = e^x - C = e^x - \frac{e - 1}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$f(x) = e^x - \frac{e-1}{2}$