(6) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \frac{10}{11}$ の左辺を計算して、与えられた式の右辺に一致するようにする。 (8) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \log(e + 16)$ の左辺を計算して、与えられた式の右辺に一致するようにする。

1. 問題の内容

(6) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \frac{10}{11}$ の左辺を計算して、与えられた式の右辺に一致するようにする。

(8) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \log(e + 16)$ の左辺を計算して、与えられた式の右辺に一致するようにする。

2. 解き方の手順

(6)

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ を計算する。

$u = \log x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} dx$ となる。

積分範囲も変更する。$x=1$ のとき $u=\log 1 = 0$ であり、$x=e$ のとき $u=\log e = 1$ である。

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \int_{0}^{1} u du$

$= \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、与えられた式の右辺は $\frac{1}{2}$ となるべきである。$\frac{10}{11}$ ではなく、これは問題が不正確であるか、書き間違いであると思われる。

(8)

$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx$ を計算する。

$u = e^x - 1$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = e^x$ より $du = e^x dx$ となる。

積分範囲も変更する。$x=1$ のとき $u=e^1 - 1 = e - 1$ であり、$x=e$ のとき $u=e^e - 1$ である。

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \int_{e-1}^{e^e - 1} \frac{1}{u} du$

$= \left[ \log |u| \right]_{e-1}^{e^e - 1} = \log (e^e - 1) - \log (e - 1) = \log \left( \frac{e^e - 1}{e - 1} \right)$

もう一つの解法：

$u = e^x - 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となる。

したがって、

$\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |e^x - 1| + C$

$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \left[ \log |e^x - 1| \right]_{1}^{e} = \log |e^e - 1| - \log |e - 1| = \log (e^e - 1) - \log (e - 1)$

問題文では $\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \log(e + \text{box})$ と与えられている。

しかし、得られた結果 $\log(e^e - 1) - \log(e-1) = \log(\frac{e^e - 1}{e-1})$ から $\text{box}$ に適切な数値を推定することは困難である。

与えられた積分は以下のように計算できる。

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = [\ln(e^x-1)]_1^e = \ln(e^e-1) - \ln(e-1) = \ln(\frac{e^e-1}{e-1})$

問題文に与えられた答えと比較する。$\ln(\frac{e^e-1}{e-1}) = \ln(e+16)$

これは $\frac{e^e-1}{e-1} = e+16$ を意味する。

$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \log(e^e-1) - \log(e-1) = \log (\frac{e^e-1}{e-1})$

この形から $\log (e + \text{box})$ の形に変形できないため、問題が間違っているか、タイプミスがあると思われる。

積分範囲を0から1に変更すると以下のようになる。

$\int_0^1 \frac{e^x}{e^x - 1} dx = [\ln(1 - e^x)]_0^1 = \ln(e-1)$

3. 最終的な答え

(6) $\frac{1}{2}$ （問題文は誤りの可能性あり）

(8) 値を推定するのは困難（問題文は誤りの可能性あり）