与えられた関数 $f(x)$ と、それによって定義される図形に対して、図形の面積 $S$ を区分求積法を用いて求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $f(x) = x^3$ について、曲線 $y = f(x)$、x軸、直線 $x = 0$、直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積を求める。 (2) $f(x) = x(2-x)$ について、曲線 $y = f(x)$ と x 軸で囲まれた図形の面積を求める。 (3) $f(x) = x+3$ について、直線 $y = f(x)$、x軸、y軸で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と、それによって定義される図形に対して、図形の面積 $S$ を区分求積法を用いて求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $f(x) = x^3$ について、曲線 $y = f(x)$、x軸、直線 $x = 0$、直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積を求める。

(2) $f(x) = x(2-x)$ について、曲線 $y = f(x)$ と x 軸で囲まれた図形の面積を求める。

(3) $f(x) = x+3$ について、直線 $y = f(x)$、x軸、y軸で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

区分求積法は、定積分をリーマン和で近似して計算する方法です。より簡単に定積分を計算します。

(1) $f(x) = x^3$ の場合

求める面積 $S$ は、定積分で表すと次のようになります。

$S = \int_0^1 x^3 dx$

これを積分すると、

$S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$

(2) $f(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ の場合

$y = f(x)$ と x軸の交点を求めると、$x(2-x) = 0$ より $x = 0, 2$ です。したがって、求める面積 $S$ は、定積分で表すと次のようになります。

$S = \int_0^2 (2x - x^2) dx$

これを積分すると、

$S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

(3) $f(x) = x+3$ の場合

直線 $y = f(x)$ と x軸の交点を求めると、$x+3 = 0$ より $x = -3$ です。また、直線 $y = f(x)$ と y軸の交点は、$x = 0$ のとき $y = 3$ です。 求める面積 $S$ は、$x=-3$から$x=0$までの定積分を計算しますが、$f(x)$が負の値を持つため、絶対値を取る必要があります。もしくは、$x=0, x=-3$と$y=x+3$で囲まれた図形は三角形であるため、その面積を計算します。

三角形の底辺の長さは、$x = 0$のとき$y = 3$なので、$3$。

三角形の高さは、$x=-3$なので、$3$。

したがって、面積は

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{1}{4}$

(2) $S = \frac{4}{3}$

(3) $S = \frac{9}{2}$