曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点 $A$ の $x$ 座標は $4$ である。以下の問いに答えよ。 (1) $C$ の点 $A$ における接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) $C$ の点 $A$ における法線 $m$ の方程式を求めよ。 (3) $C$ と $l$、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めよ。 (4) $C$ と $m$、および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点 $A$ の $x$ 座標は $4$ である。以下の問いに答えよ。

(1) $C$ の点 $A$ における接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) $C$ の点 $A$ における法線 $m$ の方程式を求めよ。

(3) $C$ と $l$、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めよ。

(4) $C$ と $m$、および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $A$ の $y$ 座標を求める。$x=4$ を $y=2\sqrt{x}$ に代入すると、$y = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$。よって、$A(4, 4)$。

次に、$y = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$ を微分する。

$\frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$。

$x=4$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$。

接線 $l$ の方程式は、$y - 4 = \frac{1}{2} (x - 4)$ より、$y = \frac{1}{2}x - 2 + 4 = \frac{1}{2}x + 2$。

(2)

法線 $m$ の傾きは、接線 $l$ の傾き $\frac{1}{2}$ の逆数の符号を変えたものなので、$-2$。

法線 $m$ の方程式は、$y - 4 = -2(x - 4)$ より、$y = -2x + 8 + 4 = -2x + 12$。

(3)

$S_1 = \int_{0}^{4} ((\frac{1}{2}x + 2) - 2\sqrt{x}) dx$

$= \int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 2 - 2x^{\frac{1}{2}}) dx$

$= [\frac{1}{4}x^2 + 2x - 2 \times \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4$

$= (\frac{1}{4} \times 16 + 2 \times 4 - \frac{4}{3} \times 8) - (0)$

$= 4 + 8 - \frac{32}{3} = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$

(4)

$y = 2\sqrt{x}$ と $y = -2x + 12$ の交点を求める。

$2\sqrt{x} = -2x + 12$

$\sqrt{x} = -x + 6$

$x = (-x + 6)^2 = x^2 - 12x + 36$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

$(x - 4)(x - 9) = 0$

$x = 4, 9$

$x = 9$ は $2\sqrt{x}$ に代入すると $6$ になるが、$-2x + 12$ に代入すると $-6$ になるため不適。

よって、$x = 4$ のみ。

$S_2 = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x})dx - \int_{0}^{4} (-2x + 12) dx$ は間違い. 法線と曲線に囲まれているため、$x = 0$ から交点の $x$ 座標である $x = 4$ の間で積分する。

$S_2 = \int_0^4 (2\sqrt{x} - (-2x + 12)) dx$は間違い。

$S_2 = \int_0^4 (-2x+12) dx - \int_0^4 2\sqrt{x}dx$

$S_2 = \int_{0}^{4} (-2x + 12 - 2\sqrt{x})dx = [-x^2 + 12x - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = (-16 + 48 - \frac{4}{3} \times 8) = 32 - \frac{32}{3} = \frac{96 - 32}{3} = \frac{64}{3}$

しかし、Cとmとx軸で囲まれた部分の面積を計算する必要があるため、

$S_2$ をCとmで囲まれた部分として再定義すると、

直線とx軸の交点を求めると、

$y = -2x + 12 = 0$ より、$x = 6$

$S_2 = \int_{0}^{4} 2\sqrt{x} dx + \int_{4}^{6} (-2x + 12) dx$

$= [\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4 + [-x^2 + 12x]_4^6 = (\frac{4}{3} \times 8) + ((-36 + 72) - (-16 + 48)) = \frac{32}{3} + (36 - 32) = \frac{32}{3} + 4 = \frac{32 + 12}{3} = \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) $y = -2x + 12$

(3) $S_1 = \frac{4}{3}$

(4) $S_2 = \frac{44}{3}$