定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$ を計算し、その結果を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$ を計算し、その結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って計算します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは $u = x$ と $dv = \sin x dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ と $v = -\cos x$ となります。

したがって、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx$$

$$= \left[ -x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$$

まず、$\left[ -x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$ を計算します。

$$- \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - (-0 \cdot \cos 0) = - \frac{\pi}{2} \cdot 0 + 0 = 0$$

次に、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ を計算します。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin (0) = 1 - 0 = 1$$

したがって、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = 0 + 1 = 1$$

3. 最終的な答え

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