(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{\sin(\pi x)}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x^2} - 1}{\sin^2 x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x}$

はい、承知いたしました。ド・ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{\sin(\pi x)}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x^2} - 1}{\sin^2 x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{\sin(\pi x)}$

$x \to 1$ のとき、$\log x \to 0$ かつ $\sin(\pi x) \to 0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となり、ド・ロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると $\frac{1}{x}$、分母を微分すると $\pi \cos(\pi x)$ となるので、

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\pi \cos(\pi x)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x \pi \cos(\pi x)} = \frac{1}{1 \cdot \pi \cdot \cos(\pi)} = \frac{1}{\pi \cdot (-1)} = - \frac{1}{\pi}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x^2} - 1}{\sin^2 x}$

$x \to 0$ のとき、$e^{3x^2} - 1 \to 0$ かつ $\sin^2 x \to 0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となり、ド・ロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると $6x e^{3x^2}$、分母を微分すると $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{6x e^{3x^2}}{\sin(2x)}$

再び $x \to 0$ のとき、$6x e^{3x^2} \to 0$ かつ $\sin(2x) \to 0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となり、ド・ロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると $6e^{3x^2} + 6x e^{3x^2} \cdot 6x = 6e^{3x^2} + 36x^2 e^{3x^2}$、分母を微分すると $2 \cos(2x)$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{6e^{3x^2} + 36x^2 e^{3x^2}}{2 \cos(2x)} = \frac{6e^0 + 36 \cdot 0 \cdot e^0}{2 \cos(0)} = \frac{6}{2} = 3$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x}$

この極限は $1^\infty$ の不定形です。$y = (1 + \frac{3}{x})^{2x}$ とおき、両辺の対数を取ると

$\log y = 2x \log(1 + \frac{3}{x})$

$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} 2x \log(1 + \frac{3}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\log(1 + \frac{3}{x}) \to 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となり、ド・ロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると $2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{3}{x}} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = -\frac{6}{x^2(1 + \frac{3}{x})}$、分母を微分すると $-\frac{1}{x^2}$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{6}{x^2(1 + \frac{3}{x})}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{6}{1 + 0} = 6$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \log y = 6$ となるので、$\lim_{x \to \infty} y = e^6$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\pi}$

(2) $3$

(3) $e^6$