定積分 $\int_{0}^{4} \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx$ を計算し、その結果を $\log(\frac{ア}{イ})$ の形で表す。ここでアとイに入る整数を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx$ を計算し、その結果を $\log(\frac{ア}{イ})$ の形で表す。ここでアとイに入る整数を求める。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3}$ とおく。

両辺に $(x+1)(x+2)(x+3)$ をかけると、

$2 = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)$

$x = -1$ のとき、$2 = A(1)(2) \Rightarrow A = 1$

$x = -2$ のとき、$2 = B(-1)(1) \Rightarrow B = -2$

$x = -3$ のとき、$2 = C(-2)(-1) \Rightarrow C = 1$

よって、

$\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} + \frac{1}{x+3}$

したがって、

$\int_{0}^{4} \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx = \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} + \frac{1}{x+3} \right) dx$

$= \left[ \log|x+1| - 2\log|x+2| + \log|x+3| \right]_{0}^{4}$

$= \left[ \log \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2} \right]_{0}^{4}$

$= \log \frac{(4+1)(4+3)}{(4+2)^2} - \log \frac{(0+1)(0+3)}{(0+2)^2}$

$= \log \frac{5 \cdot 7}{6^2} - \log \frac{1 \cdot 3}{2^2}$

$= \log \frac{35}{36} - \log \frac{3}{4}$

$= \log \frac{35/36}{3/4} = \log \frac{35}{36} \cdot \frac{4}{3} = \log \frac{35}{9 \cdot 3} = \log \frac{35}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{ア}{イ} = \frac{35}{27}$

したがって、ア = 35, イ = 27