$\sinh x$, $\cosh x$, $\sin x \cos x$ のマクローリン展開を求める問題です。

解析学マクローリン展開テイラー展開三角関数双曲線関数級数
2025/7/16

1. 問題の内容

sinhx\sinh x, coshx\cosh x, sinxcosx\sin x \cos x のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) sinhx\sinh x のマクローリン展開
sinhx=exex2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} であることを利用します。exe^x のマクローリン展開は以下の通りです。
ex=n=0xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots
同様に、exe^{-x} のマクローリン展開は以下の通りです。
ex=n=0(x)nn!=1x+x22!x33!+x44!e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots
したがって、
sinhx=exex2=12[(1+x+x22!+x33!+x44!+)(1x+x22!x33!+x44!)]\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\right) - \left(1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\right) \right]
sinhx=12(2x+2x33!+2x55!+)=x+x33!+x55!+=n=0x2n+1(2n+1)!\sinh x = \frac{1}{2} \left( 2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + \dots \right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
(2) coshx\cosh x のマクローリン展開
coshx=ex+ex2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} であることを利用します。
coshx=ex+ex2=12[(1+x+x22!+x33!+x44!+)+(1x+x22!x33!+x44!)]\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\right) + \left(1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\right) \right]
coshx=12(2+2x22!+2x44!+)=1+x22!+x44!+=n=0x2n(2n)!\cosh x = \frac{1}{2} \left( 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + \dots \right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}
(3) sinxcosx\sin x \cos x のマクローリン展開
sinxcosx=12sin(2x)\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) であることを利用します。sinx\sin x のマクローリン展開は以下の通りです。
sinx=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=xx33!+x55!\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots
したがって、
sin(2x)=n=0(1)n(2x)2n+1(2n+1)!=2x(2x)33!+(2x)55!\sin(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots
sinxcosx=12sin(2x)=12n=0(1)n(2x)2n+1(2n+1)!=n=0(1)n22nx2n+1(2n+1)!\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}
sinxcosx=x4x33!+16x55!\sin x \cos x = x - \frac{4x^3}{3!} + \frac{16x^5}{5!} - \dots

3. 最終的な答え

sinhx=n=0x2n+1(2n+1)!\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
coshx=n=0x2n(2n)!\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}
sinxcosx=n=0(1)n22nx2n+1(2n+1)!\sin x \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}

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