$\sinh x$, $\cosh x$, $\sin x \cos x$ のマクローリン展開を求める問題です。解析学マクローリン展開テイラー展開三角関数双曲線関数級数2025/7/161. 問題の内容sinhx\sinh xsinhx, coshx\cosh xcoshx, sinxcosx\sin x \cos xsinxcosx のマクローリン展開を求める問題です。2. 解き方の手順(1) sinhx\sinh xsinhx のマクローリン展開sinhx=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}sinhx=2ex−e−x であることを利用します。exe^xex のマクローリン展開は以下の通りです。ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+…e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsex=∑n=0∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+…同様に、e−xe^{-x}e−x のマクローリン展開は以下の通りです。e−x=∑n=0∞(−x)nn!=1−x+x22!−x33!+x44!−…e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dotse−x=∑n=0∞n!(−x)n=1−x+2!x2−3!x3+4!x4−…したがって、sinhx=ex−e−x2=12[(1+x+x22!+x33!+x44!+… )−(1−x+x22!−x33!+x44!−… )]\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\right) - \left(1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\right) \right]sinhx=2ex−e−x=21[(1+x+2!x2+3!x3+4!x4+…)−(1−x+2!x2−3!x3+4!x4−…)]sinhx=12(2x+2x33!+2x55!+… )=x+x33!+x55!+⋯=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!\sinh x = \frac{1}{2} \left( 2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + \dots \right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinhx=21(2x+23!x3+25!x5+…)=x+3!x3+5!x5+⋯=∑n=0∞(2n+1)!x2n+1(2) coshx\cosh xcoshx のマクローリン展開coshx=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}coshx=2ex+e−x であることを利用します。coshx=ex+e−x2=12[(1+x+x22!+x33!+x44!+… )+(1−x+x22!−x33!+x44!−… )]\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\right) + \left(1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\right) \right]coshx=2ex+e−x=21[(1+x+2!x2+3!x3+4!x4+…)+(1−x+2!x2−3!x3+4!x4−…)]coshx=12(2+2x22!+2x44!+… )=1+x22!+x44!+⋯=∑n=0∞x2n(2n)!\cosh x = \frac{1}{2} \left( 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + \dots \right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}coshx=21(2+22!x2+24!x4+…)=1+2!x2+4!x4+⋯=∑n=0∞(2n)!x2n(3) sinxcosx\sin x \cos xsinxcosx のマクローリン展開sinxcosx=12sin(2x)\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)sinxcosx=21sin(2x) であることを利用します。sinx\sin xsinx のマクローリン展開は以下の通りです。sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−…\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dotssinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−3!x3+5!x5−…したがって、sin(2x)=∑n=0∞(−1)n(2x)2n+1(2n+1)!=2x−(2x)33!+(2x)55!−…\sin(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dotssin(2x)=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!(2x)2n+1=2x−3!(2x)3+5!(2x)5−…sinxcosx=12sin(2x)=12∑n=0∞(−1)n(2x)2n+1(2n+1)!=∑n=0∞(−1)n22nx2n+1(2n+1)!\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinxcosx=21sin(2x)=21∑n=0∞(−1)n(2n+1)!(2x)2n+1=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!22nx2n+1sinxcosx=x−4x33!+16x55!−…\sin x \cos x = x - \frac{4x^3}{3!} + \frac{16x^5}{5!} - \dotssinxcosx=x−3!4x3+5!16x5−…3. 最終的な答えsinhx=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinhx=∑n=0∞(2n+1)!x2n+1coshx=∑n=0∞x2n(2n)!\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}coshx=∑n=0∞(2n)!x2nsinxcosx=∑n=0∞(−1)n22nx2n+1(2n+1)!\sin x \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinxcosx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!22nx2n+1