定積分 $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。問題文には、答えが $\frac{7}{8} \pi$ であると書かれています。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。問題文には、答えが $\frac{7}{8} \pi$ であると書かれています。

2. 解き方の手順

まず、定積分の計算を行います。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

この問題では、$a=3$ です。したがって、

$\int \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx = 3 \arcsin(\frac{x}{3}) + C$ となります。

次に、積分範囲 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ から $3$ までの定積分を計算します。

$\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx = \left[ 3 \arcsin(\frac{x}{3}) \right]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3} = 3 \left( \arcsin(\frac{3}{3}) - \arcsin(\frac{3/\sqrt{2}}{3}) \right)$

$= 3 \left( \arcsin(1) - \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) = 3 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx = \frac{3\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4}$