曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点Aのx座標は4である。以下の問いに答えよ。 (1) Cの点Aにおける接線lの方程式を求めよ。 (2) Cの点Aにおける法線mの方程式を求めよ。 (3) Cとl、およびy軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めよ。 (4) Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題の内容と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点Aのx座標は4である。以下の問いに答えよ。

(1) Cの点Aにおける接線lの方程式を求めよ。

(2) Cの点Aにおける法線mの方程式を求めよ。

(3) Cとl、およびy軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めよ。

(4) Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。$x=4$のとき、$y = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$。よってA(4, 4)。

$y = 2\sqrt{x}$ を微分して、$y' = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$。

点Aにおける接線の傾きは、$y'(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$。

よって、接線lの方程式は、$y - 4 = \frac{1}{2}(x - 4)$。

$y = \frac{1}{2}x - 2 + 4 = \frac{1}{2}x + 2$。

(2) 法線mの傾きは、接線lの傾きの逆数に-1をかけたものなので、$-2$。

法線mの方程式は、$y - 4 = -2(x - 4)$。

$y = -2x + 8 + 4 = -2x + 12$。

(3) Cとl、およびy軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ は、

$\int_0^4 (\frac{1}{2}x + 2 - 2\sqrt{x}) dx$。

$= [\frac{1}{4}x^2 + 2x - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4$

$= (\frac{1}{4} \times 16 + 2 \times 4 - \frac{4}{3} \times 8) - 0$

$= 4 + 8 - \frac{32}{3} = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$。

(4) Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ は、

まず、Cとmの交点を求める。

$2\sqrt{x} = -2x + 12$。

$\sqrt{x} = -x + 6$。

$x = x^2 - 12x + 36$。

$x^2 - 13x + 36 = 0$。

$(x - 4)(x - 9) = 0$。

$x = 4, 9$。

よって、交点は(4, 4)と(9, 6)。

$S_2 = \int_0^4 2\sqrt{x} dx + \int_4^6 2\sqrt{x} - (-2x + 12) dx$

しかし、0から9までの積分で考えた方が楽そうである。

$S_2 = \int_0^9 (-2x + 12) - 2\sqrt{x} dx$

$= [-x^2 + 12x - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^9$

$= (-81 + 108 - \frac{4}{3} \times 27) - 0$

$= 27 - 36 = -9$

これは面積なので、正の値で考えます。

$S_2 = \int_0^4 2\sqrt{x} dx - \int_4^6 (-2x+12) dx$

交点のx座標は

9. y座標は、-2(9) + 12 = -6。

$\int_0^9 (2 \sqrt{x}) dx - \int_0^6 (-2x+12) dx$

$= \frac{4}{3} (9)^{3/2} - [-x^2 + 12x]_0^6$

$= \frac{4}{3} * 27 - [ -36 + 72]$

$= 36 - 36 = 0$

$S_2 = \int_0^4 (2 \sqrt{x}) dx = \frac{32}{3}$

$S_2 = |\int_0^9 (2\sqrt{x} - (-2x+12))dx| = 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) $y = -2x + 12$

(3) $S_1 = \frac{4}{3}$

(4) $S_2 = 9$