$\sin x$, $\cos x$ の $x=0$ におけるテイラー展開を求めます。 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

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1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2 \cos x}{2 - 2\cos x - x \sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \cos x)^2 - x^4}{(x - \sin x)^2}$

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2. 解き方の手順

### (1) の手順

1. **テイラー展開を利用する**:

$\sin x$, $\cos x$ の $x=0$ におけるテイラー展開を求めます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

2. **$\sin^2 x$ を計算する**:

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$

3. **$x^2 \cos x$ を計算する**:

$x^2 \cos x = x^2 (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{24} + O(x^8)$

4. **分子を計算する**:

$\sin^2 x - x^2 \cos x = (x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)) - (x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{24} + O(x^8)) = \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

5. **分母を計算する**:

$2 - 2\cos x - x \sin x = 2 - 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)) - x(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x^2 - \frac{x^4}{12} - x^2 + \frac{x^4}{6} + O(x^6) = \frac{x^4}{12} + O(x^6)$

6. **極限を計算する**:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2 \cos x}{2 - 2\cos x - x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{6} + O(x^6)}{\frac{x^4}{12} + O(x^6)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6} + O(x^2)}{\frac{1}{12} + O(x^2)} = \frac{1/6}{1/12} = 2$

### (2) の手順

1. **テイラー展開を利用する**:

$\sin x$, $\cos x$ の $x=0$ におけるテイラー展開を求めます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + O(x^8)$

2. **$1 - \cos x$ を計算する**:

$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + O(x^8)$

3. **$(1 - \cos x)^2$ を計算する**:

$(1 - \cos x)^2 = (\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + O(x^8))^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} + O(x^8)$

4. **$4(1 - \cos x)^2$ を計算する**:

$4(1 - \cos x)^2 = x^4 - \frac{x^6}{6} + O(x^8)$

5. **$4(1 - \cos x)^2 - x^4$ を計算する**:

$4(1 - \cos x)^2 - x^4 = -\frac{x^6}{6} + O(x^8)$

6. **$x - \sin x$ を計算する**:

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

7. **$(x - \sin x)^2$ を計算する**:

$(x - \sin x)^2 = (\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7))^2 = \frac{x^6}{36} - \frac{x^8}{360} + O(x^{10}) = \frac{x^6}{36} + O(x^8)$

8. **極限を計算する**:

$\lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \cos x)^2 - x^4}{(x - \sin x)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^6}{6} + O(x^8)}{\frac{x^6}{36} + O(x^8)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{6} + O(x^2)}{\frac{1}{36} + O(x^2)} = \frac{-1/6}{1/36} = -6$

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3. 最終的な答え

(1) の答え: 2

(2) の答え: -6