与えられた式 $(e^x - 1 - \sin x)(x - \sin x)$ を、ランダウの記号を用いて、$x^5$ のオーダーまで評価し、$\frac{x^5}{12} + o(x^5)$ となることを示す問題です。ここで、$o(x^n)$ は、$x \to 0$ のとき $\frac{o(x^n)}{x^n} \to 0$ を意味します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(e^x - 1 - \sin x)(x - \sin x)$ を、ランダウの記号を用いて、$x^5$ のオーダーまで評価し、$\frac{x^5}{12} + o(x^5)$ となることを示す問題です。ここで、$o(x^n)$ は、$x \to 0$ のとき $\frac{o(x^n)}{x^n} \to 0$ を意味します。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$ と $\sin x$ のマクローリン展開を求めます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$

これらを用いて、$e^x - 1 - \sin x$ と $x - \sin x$ を計算します。

$e^x - 1 - \sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)) - 1 - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + o(x^5)$

次に、これらの積を計算します。ここでは$x^5$の項まで考慮します。

$(e^x - 1 - \sin x)(x - \sin x) = (\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} + o(x^4))(\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + o(x^5))$

$= \frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} \cdot o(x^5) + \frac{x^3}{3} \cdot \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3} \cdot o(x^5) + \frac{x^4}{24} \cdot \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \cdot o(x^5) + o(x^4) \cdot \frac{x^3}{6} + o(x^4) \cdot o(x^5)$

$= \frac{x^5}{12} + \frac{x^6}{18} + \frac{x^7}{144} + o(x^7)$

$x^5$ のオーダーまでなので、$x^6$ 以降の項を無視すると、

$(e^x - 1 - \sin x)(x - \sin x) = \frac{x^5}{12} + o(x^5)$

3. 最終的な答え

$\frac{x^5}{12} + o(x^5)$