2変数関数 $f(x, y) = xe^{-xy}$ について、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = xe^{-xy}$ について、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $x$ で偏微分して $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

次に、$\frac{\partial f}{\partial x}$ を再び $x$ で偏微分して $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を求めます。

$f(x, y) = xe^{-xy}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xe^{-xy})$

積の微分公式を使うと：

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{-xy} + x(-y)e^{-xy} = e^{-xy} - xye^{-xy} = (1 - xy)e^{-xy}$

次に、$\frac{\partial f}{\partial x}$ を再び $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}((1 - xy)e^{-xy})$

再び積の微分公式を使うと：

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -ye^{-xy} + (1 - xy)(-y)e^{-xy} = -ye^{-xy} - ye^{-xy} + xy^2e^{-xy} = -2ye^{-xy} + xy^2e^{-xy}$

したがって、

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (xy^2 - 2y)e^{-xy}$

3. 最終的な答え

$(xy^2 - 2y)e^{-xy}$