問題は2つの不定積分を求める問題です。 * 1つ目は $\int xe^{2x} dx = \frac{1}{4} ( \text{ア} x + \text{イ} ) e^{2x} + C$ の $\text{ア}$ と $\text{イ}$ を求める問題です。 * 2つ目は $\int x^3 \log x dx = \frac{x^4}{\text{ア}} \log x - \frac{x^4}{\text{イ}} + C$ の $\text{ア}$ と $\text{イ}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの不定積分を求める問題です。

* 1つ目は $\int xe^{2x} dx = \frac{1}{4} ( \text{ア} x + \text{イ} ) e^{2x} + C$ の $\text{ア}$ と $\text{イ}$ を求める問題です。

* 2つ目は $\int x^3 \log x dx = \frac{x^4}{\text{ア}} \log x - \frac{x^4}{\text{イ}} + C$ の $\text{ア}$ と $\text{イ}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

1つ目の積分：部分積分を用いて計算します。

$u = x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int xe^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$

$= \frac{1}{4}(2x - 1)e^{2x} + C$

したがって、$\frac{1}{4} ( \text{ア} x + \text{イ} ) e^{2x} + C = \frac{1}{4}(2x - 1)e^{2x} + C$ なので、$\text{ア} = 2$, $\text{イ} = -1$ となります。

2つ目の積分：これも部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{4}x^4$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{1}{4} x^4 - \int \frac{1}{4} x^4 \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx$

$= \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^4 + C$

$= \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{16} x^4 + C$

したがって、$\frac{x^4}{\text{ア}} \log x - \frac{x^4}{\text{イ}} + C = \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{16} x^4 + C$ なので、$\text{ア} = 4$, $\text{イ} = 16$ となります。

3. 最終的な答え

1つ目の積分:

ア = 2

イ = -1

2つ目の積分:

ア = 4

イ = 16