与えられた2つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx$ (2) $\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx$

(2) $\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_{-1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx$ を計算します。

まず、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{2}$

$= \left( \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1) \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2 \right)$

$= \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2$

$= \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

(2) 定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x) dx$ を計算します。

まず、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - x) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 \right) = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$

$\int_{2}^{3} (x^2 - x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{2}^{3} = \left( \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 \right) = \left( 9 - \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right)$

$= 9 - \frac{9}{2} - \frac{8}{3} + 2 = 11 - \frac{9}{2} - \frac{8}{3} = \frac{66}{6} - \frac{27}{6} - \frac{16}{6} = \frac{23}{6}$

$\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x) dx = \frac{2}{3} + \frac{23}{6} = \frac{4}{6} + \frac{23}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{9}{2}$