極限 $\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{\frac{1}{x}}$ を計算してください。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{\frac{1}{x}}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y$ とおきます。

$y = (1-x)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (1-x)^{\frac{1}{x}}$

$\ln y = \frac{1}{x} \ln (1-x)$

$\ln y = \frac{\ln (1-x)}{x}$

ここで、$x \to -\infty$ のとき、$\frac{\ln (1-x)}{x}$ の極限を考えます。

$x \to -\infty$ のとき、$\ln(1-x) \to \infty$ であり、$x \to -\infty$ なので、$\frac{\infty}{-\infty}$ の不定形です。

ロピタルの定理を使うことができますが、ここでは使いません。

$u = -x$ と置くと、$x = -u$ であり、$x \to -\infty$ のとき、$u \to \infty$ となります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(1+u)}{-u} = - \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(1+u)}{u}$

$\lim_{u \to \infty} \frac{\ln(1+u)}{u}$ を評価します。

$u > 0$ に対して $\ln(1+u) < 1+u$ が成り立つので、$\frac{\ln(1+u)}{u} < \frac{1+u}{u} = \frac{1}{u} + 1$

$\ln(1+u) = \int_1^{1+u} \frac{1}{t} dt$

ここで、$u \to \infty$ のとき、$t > 1$ なので、$\frac{1}{t} < 1$ であることを利用すると、

$\ln(1+u) = \int_1^{1+u} \frac{1}{t} dt < \int_1^{1+u} 1 dt = (1+u) - 1 = u$

よって、$\frac{\ln(1+u)}{u} < \frac{u}{u} = 1$ が得られます。

一方で、$u$ が十分に大きいとき、$\ln(1+u) > 0$ なので、$\frac{\ln(1+u)}{u} > 0$

$\lim_{u \to \infty} \frac{\ln(1+u)}{u}$ の形を考えると、分母が無限大に発散する一方で、分子の増加速度は分母よりも遅いため、極限は0に収束すると考えられます。

$\lim_{u \to \infty} \frac{\ln(1+u)}{u} = 0$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} \ln y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = - \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(1+u)}{u} = -0 = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \ln y = 0$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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