## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像に写っている極限の問題のうち、(1)と(4)について解きます。

(1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ を求める。

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$ を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$**

1. $y = x^{\frac{1}{x}}$とおく。

2. 両辺の自然対数をとると、$\ln y = \ln(x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$となる。

3. $x \to \infty$のとき、$\frac{\ln x}{x}$は$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

4. $\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$より、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

**(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$**

1. $y = x^{\sin x}$とおく。

2. 両辺の自然対数をとると、$\ln y = \ln(x^{\sin x}) = (\sin x)(\ln x)$となる。

3. $x \to +0$のとき、$(\sin x)(\ln x)$は$0 \cdot (-\infty)$の不定形なので、$\frac{0}{0}$または$\frac{\infty}{\infty}$の形に変形する。

$$\lim_{x \to +0} (\sin x)(\ln x) = \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$$

4. $\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$は$\frac{-\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to +0} \frac{-\sin^2 x}{x \cos x} = \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{-\sin x}{\cos x}$$

5. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x} = 0$ を用いると、

$$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{-\sin x}{\cos x} = 1 \cdot 0 = 0$$

6. $\lim_{x \to +0} \ln y = 0$より、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

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3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x} = 1$