平面 $z = 2x$ と $xy$ 平面の間で、$xy$ 平面上の半円 $x^2 + y^2 \leq a^2$, $x \geq 0$ の上にある部分の体積を求める問題です ($a > 0$)。

1. 問題の内容

平面 $z = 2x$ と $xy$ 平面の間で、$xy$ 平面上の半円 $x^2 + y^2 \leq a^2$, $x \geq 0$ の上にある部分の体積を求める問題です ($a > 0$)。

2. 解き方の手順

まず、体積を求めるための二重積分を設定します。積分領域は、$xy$ 平面上の半円 $x^2 + y^2 \leq a^2$, $x \geq 0$ です。被積分関数は、平面 $z = 2x$ と $xy$ 平面の間の高さである $2x$ となります。

したがって、求める体積 $V$ は次のように表されます。

$V = \iint_D 2x \, dxdy$

ここで、$D$ は積分領域である半円 $x^2 + y^2 \leq a^2$, $x \geq 0$ を表します。

積分を計算するために、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = rdrd\theta$

半円の領域は、極座標では $0 \leq r \leq a$, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ と表されます。

したがって、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^a 2(r\cos\theta) r \, dr d\theta = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^a r^2\cos\theta \, dr d\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_0^a r^2 dr = \left[\frac{1}{3}r^3\right]_0^a = \frac{1}{3}a^3$

次に、$\theta$ について積分します。

$2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{3}a^3 \cos\theta \, d\theta = \frac{2}{3}a^3 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta = \frac{2}{3}a^3 \left[\sin\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{2}{3}a^3 (1 - (-1)) = \frac{2}{3}a^3 (2) = \frac{4}{3}a^3$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}a^3$