$xy$ 平面上を動く点 $Q(\cos t, \sin t - \frac{1}{2}\sin 2t)$ について、次の問いに答えます。ただし、$t$ は実数とします。 (1) $0 \leq t \leq \pi$ における点 $Q$ の $y$ 座標の最大値と、そのときの $t$ の値を求めます。 (2) $t$ が $0 \leq t \leq \pi$ の範囲を動くとき、点 $Q$ の描く曲線を $C$ とします。曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上を動く点 $Q(\cos t, \sin t - \frac{1}{2}\sin 2t)$ について、次の問いに答えます。ただし、$t$ は実数とします。

(1) $0 \leq t \leq \pi$ における点 $Q$ の $y$ 座標の最大値と、そのときの $t$ の値を求めます。

(2) $t$ が $0 \leq t \leq \pi$ の範囲を動くとき、点 $Q$ の描く曲線を $C$ とします。曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin t - \frac{1}{2}\sin 2t$ とおきます。$0 \leq t \leq \pi$ における $y$ の最大値を求めます。

$y$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = \cos t - \cos 2t = \cos t - (2\cos^2 t - 1) = -2\cos^2 t + \cos t + 1 = -(2\cos t + 1)(\cos t - 1)$

$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは $\cos t = 1$ または $\cos t = -\frac{1}{2}$ のときです。

$0 \leq t \leq \pi$ なので、$t=0, t=\frac{2}{3}\pi$ です。

$t=0$ のとき $y = \sin 0 - \frac{1}{2}\sin 0 = 0$

$t = \frac{2}{3}\pi$ のとき $y = \sin(\frac{2}{3}\pi) - \frac{1}{2}\sin(\frac{4}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$t=\pi$ のとき $y = \sin \pi - \frac{1}{2}\sin 2\pi = 0$

したがって、$y$ の最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ であり、そのときの $t$ の値は $t = \frac{2}{3}\pi$ です。

(2) 求める面積 $S$ は

$S = \int_0^{\pi} y \frac{dx}{dt} dt = \int_0^{\pi} (\sin t - \frac{1}{2}\sin 2t) (-\sin t) dt = -\int_0^{\pi} (\sin^2 t - \frac{1}{2}\sin 2t \sin t) dt$

$= -\int_0^{\pi} (\frac{1-\cos 2t}{2} - \frac{1}{2} (2\sin t \cos t) \sin t) dt = -\int_0^{\pi} (\frac{1-\cos 2t}{2} - \sin^2 t \cos t) dt$

$= -\int_0^{\pi} (\frac{1-\cos 2t}{2} - (1-\cos^2 t)\cos t) dt = -\int_0^{\pi} (\frac{1}{2}-\frac{\cos 2t}{2} - (\cos t-\cos^3 t)) dt$

$= -\int_0^{\pi} (\frac{1}{2} - \frac{\cos 2t}{2} - \cos t + \cos^3 t) dt$

$u = \sin t$ とおくと $du = \cos t dt$ だから $\int \cos^3 t dt = \int (1-\sin^2 t)\cos t dt = \int (1-u^2)du = u-\frac{u^3}{3} = \sin t - \frac{\sin^3 t}{3}$

$S = -\left[ \frac{1}{2}t - \frac{\sin 2t}{4} - \sin t + \sin t - \frac{\sin^3 t}{3} \right]_0^{\pi} = -\left[ \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 - 0\right] = -\frac{\pi}{2}$

絶対値を取って $S = \frac{\pi}{2}$.

別解

$S = -\int_0^\pi (\sin^2 t - \frac{1}{2}\sin 2t \sin t) dt = -\int_0^\pi (\frac{1-\cos 2t}{2} - \sin^2 t \cos t) dt$

$= -\int_0^\pi \frac{1-\cos 2t}{2} dt + \int_0^\pi \sin^2 t \cos t dt = -[\frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4}]_0^\pi + [\frac{\sin^3 t}{3}]_0^\pi$

$= -(\frac{\pi}{2}-0) + (\frac{0}{3} - 0) = -\frac{\pi}{2}$

絶対値を取って $S = \frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $t = \frac{2}{3}\pi$

(2) 面積: $\frac{\pi}{2}$