関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描いてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描いてください。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = (x)'e^{-2x} + x(e^{-2x})' = e^{-2x} + x(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。 $e^{-2x} > 0$ なので、$1-2x=0$ より $x = \frac{1}{2}$。

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = (e^{-2x}(1-2x))' = (e^{-2x})'(1-2x) + e^{-2x}(1-2x)' = -2e^{-2x}(1-2x) + e^{-2x}(-2) = -2e^{-2x} + 4xe^{-2x} - 2e^{-2x} = 4xe^{-2x} - 4e^{-2x} = 4e^{-2x}(x-1)$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。 $e^{-2x} > 0$ なので、$x-1=0$ より $x=1$。

増減表を作成します。

| x | $-\infty$ | ... | 1/2 | ... | 1 | ... | $+\infty$ |

| :----- | :-------- | :----: | :----: | :----: | :--: | :----: | :-------- |

| f'(x) | + | + | 0 | - | - | - | - |

| f''(x) | - | - | - | - | 0 | + | + |

| f(x) | 0 | 増加 | 極大 | 減少 | 変曲点 | 減少 | 0 |

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$.

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1 \cdot e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.

したがって、$x=\frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとり、$x=1$ で変曲点 $(\frac{1}{e^2})$ を持つ。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

$\lim_{x \to +\infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{2x}}$。 ロピタルの定理より $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$.

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-2x} = -\infty \cdot e^{-2(-\infty)} = -\infty \cdot e^{+\infty} = -\infty$.

3. 最終的な答え

(1)

- 増減: $x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少。

- 極値: $x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$。

- 凹凸: $x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸。

- 変曲点: $(1, \frac{1}{e^2})$。

(2)

- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

- グラフの概形: $x$ が $-\infty$ に近づくと、$y$ は $-\infty$ に近づきます。$x$ が増加すると、$y$ は増加し、 $x=\frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとります。その後、$x$ が増加すると、$y$ は減少し、$x=1$ で変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$ を通過し、$x$ が $+\infty$ に近づくと、$y$ は $0$ に近づきます。