与えられた2つの関数 $f(x,y)$ が、点 $(0,0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題です。 関数1： $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ 関数2： $f(x,y) = \begin{cases} xy \arcsin(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x,y)$ が、点 $(0,0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題です。

関数1：

$f(x,y) = \begin{cases}

\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}$

関数2：

$f(x,y) = \begin{cases}

xy \arcsin(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

全微分可能性を調べるには、以下の手順で確認します。

(1) $(0,0)$ における偏微分係数 $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ が存在するかどうかを確認します。

(2) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で全微分可能であるとき、以下の式が成り立つ必要があります。

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(0+h, 0+k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

この極限が存在し、0に等しい場合、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能です。

(1)

$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

したがって、$f_x(0,0) = 0$ かつ $f_y(0,0) = 0$ です。

$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{\frac{h|k|}{\sqrt{h^2+k^2}} - 0 - 0\cdot h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{h|k|}{h^2 + k^2}$

$h=r\cos\theta$, $k=r\sin\theta$とおくと、

$\lim_{r\to 0} \frac{r\cos\theta|r\sin\theta|}{r^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2\cos\theta|\sin\theta|}{r^2} = \lim_{r\to 0} \cos\theta|\sin\theta|$

これは、$\theta$ に依存するので、極限は存在しません。

したがって、$f(x,y)$は$(0,0)$ で全微分可能ではありません。

(2)

$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h\cdot 0 \cdot \arcsin(1) - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0\cdot k \cdot \arcsin(-1) - 0}{k} = 0$

したがって、$f_x(0,0) = 0$ かつ $f_y(0,0) = 0$ です。

$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{hk \arcsin(\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}) - 0 - 0\cdot h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{hk \arcsin(\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}}$

$h=r\cos\theta$, $k=r\sin\theta$とおくと、

$\lim_{r\to 0} \frac{r^2 \cos\theta\sin\theta\arcsin(\frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2})}{\sqrt{r^2}} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2 \cos\theta\sin\theta\arcsin(\cos2\theta)}{r} = \lim_{r\to 0} r \cos\theta\sin\theta\arcsin(\cos2\theta) = 0$

したがって、$f(x,y)$は$(0,0)$ で全微分可能です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能ではない。

(2) $f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能である。