$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を2乗します。両辺が正であるため、2乗しても不等号の向きは変わりません。

$\sin^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$

$\sin^2 x + \frac{1}{2} < 1 - \sin^2 x$

$2\sin^2 x < \frac{1}{2}$

$\sin^2 x < \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$

ここで、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\sin x$ の値が $-\frac{1}{2}$ より大きく $\frac{1}{2}$ より小さい範囲を考えます。

$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

したがって、$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は、

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ です。

しかし、元の不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ において、左辺は常に正なので、$\cos x$ も正でなければなりません。

$\cos x > 0$ となる $x$ の範囲は、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ です。

$\cos x > 0$ と $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ の両方を満たす $x$ の範囲を求めます。

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ は $\cos x > 0$ を満たします。

$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ は $\cos x > 0$ を満たしません。

$\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ は $\cos x > 0$ を満たします。

したがって、$x$ の範囲は、

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ です。

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$