以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、$y = (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln (1+e^x)$

ここで、$x \to \infty$ のときの極限を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+e^x)}{x}$

$x \to \infty$ のとき、$e^x$ が $1$ よりずっと大きくなるので、$1+e^x \approx e^x$ と近似できます。

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$

$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$