次の2つの関数の増減表を書き、極値を求める問題です。 (1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$ (2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、増減表を書き、極値を求めます。

1. 問題の内容

次の2つの関数の増減表を書き、極値を求める問題です。

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$ について

* 定義域: $x \ge 0$

* 微分:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+2) - \sqrt{x}}{(x+2)^2} = \frac{(x+2) - 2x}{2\sqrt{x}(x+2)^2} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ の値を求める: $2 - x = 0$ より $x = 2$

* 増減表:

| x | 0 | ... | 2 | ... | $\infty$ |

| :--- | :---- | :---- | :-- | :---- | :------- |

| y' | 不存在 | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↑ | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | ↓ | 0 |

* 極値: $x = 2$ で極大値 $y = \frac{\sqrt{2}}{4}$ をとる。

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$ について

* 微分:

$y' = -x^3 + 3x^2 + 10x = -x(x^2 - 3x - 10) = -x(x-5)(x+2)$

* $y' = 0$ となる $x$ の値を求める: $x = -2, 0, 5$

* 増減表:

| x | $-\infty$ | ... | -2 | ... | 0 | ... | 5 | ... | $\infty$ |

| :--- | :-------- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- | :------- |

| y' | + | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | |

| y | $-\infty$ | ↑ | 12 | ↓ | 0 | ↑ | $\frac{175}{4}$ | ↓ | $-\infty$ |

* 極値:

$x = -2$ で極大値 $y = 12$ をとる。

$x = 0$ で極小値 $y = 0$ をとる。

$x = 5$ で極大値 $y = \frac{175}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

極大値: $x = 2$ で $y = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

極大値: $x = -2$ で $y = 12$

極小値: $x = 0$ で $y = 0$

極大値: $x = 5$ で $y = \frac{175}{4}$