定積分 $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

$u = \log x$ と $dv = x^2 dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

\begin{align*} \label{eq:1} \int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx &= \left[ \frac{x^3}{3} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{3} \, dx \\ &= \left( \frac{e^3}{3} \log e - \frac{1^3}{3} \log 1 \right) - \left[ \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{e} \\ &= \frac{e^3}{3} - 0 - \left( \frac{e^3}{9} - \frac{1}{9} \right) \\ &= \frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9} + \frac{1}{9} \\ &= \frac{3e^3 - e^3}{9} + \frac{1}{9} \\ &= \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9} \\ &= \frac{2e^3 + 1}{9} \end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{2e^3 + 1}{9}$