次の3つの定積分を計算します。 (i) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ (ii) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx$ (iii) $\int_{1}^{2} \frac{1}{e^x - e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を計算します。

(i) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

(ii) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx$

(iii) $\int_{1}^{2} \frac{1}{e^x - e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変換します。$x = 1$ のとき $u = \log 1 = 0$、$x = e$ のとき $u = \log e = 1$ です。

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \int_{0}^{1} u \, du = \left[\frac{1}{2}u^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

(ii) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2(1 - \frac{x^2}{2})}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{2}})^2}} dx$

$u = \frac{x}{\sqrt{2}}$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $dx = \sqrt{2} \, du$ となります。

積分範囲も変換します。$x = 0$ のとき $u = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$、$x = 1$ のとき $u = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{2}})^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \sqrt{2} \, du = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \, du$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du = \arcsin u + C$ より、

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \, du = [\arcsin u]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

(iii) $\int_{1}^{2} \frac{1}{e^x - e^{-x}} dx$

$\frac{1}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{e^x - \frac{1}{e^x}} = \frac{e^x}{e^{2x} - 1}$

$u = e^x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = e^x$ より $dx = \frac{1}{e^x} \, du = \frac{1}{u} \, du$ となります。

積分範囲も変換します。$x = 1$ のとき $u = e^1 = e$、$x = 2$ のとき $u = e^2$ です。

したがって、

$\int_{1}^{2} \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx = \int_{e}^{e^2} \frac{u}{u^2 - 1} \frac{1}{u} \, du = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{u^2 - 1} du$

部分分数分解すると、$\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{(u - 1)(u + 1)} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1}$

$1 = A(u + 1) + B(u - 1)$ となり、$u = 1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$、$u = -1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{e}^{e^2} \frac{1}{u^2 - 1} du = \int_{e}^{e^2} \left(\frac{1/2}{u - 1} - \frac{1/2}{u + 1}\right) du = \frac{1}{2} \int_{e}^{e^2} \left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1}\right) du$

$= \frac{1}{2}[\log|u - 1| - \log|u + 1|]_{e}^{e^2} = \frac{1}{2}\left[\log\left|\frac{u - 1}{u + 1}\right|\right]_{e}^{e^2} = \frac{1}{2}\left(\log\left(\frac{e^2 - 1}{e^2 + 1}\right) - \log\left(\frac{e - 1}{e + 1}\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\log\left(\frac{e^2 - 1}{e^2 + 1} \cdot \frac{e + 1}{e - 1}\right) = \frac{1}{2}\log\left(\frac{(e - 1)(e + 1)}{e^2 + 1} \cdot \frac{e + 1}{e - 1}\right) = \frac{1}{2}\log\left(\frac{(e + 1)^2}{e^2 + 1}\right)$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{1}{2}$

(ii) $\frac{\pi}{4}$

(iii) $\frac{1}{2}\log\left(\frac{(e + 1)^2}{e^2 + 1}\right)$