問題は2つあります。 1つ目の問題は与えられた関数を微分することです。4つの関数が与えられています。 2つ目の問題は与えられた積分を計算することです。6つの積分が与えられています。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は与えられた関数を微分することです。4つの関数が与えられています。

2つ目の問題は与えられた積分を計算することです。6つの積分が与えられています。

2. 解き方の手順

1. (1) $y = \frac{4x+2}{x^2+5}$ を微分します。商の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = 4x + 2$, $u' = 4$

$v = x^2 + 5$, $v' = 2x$

$y' = \frac{4(x^2+5) - (4x+2)(2x)}{(x^2+5)^2} = \frac{4x^2 + 20 - 8x^2 - 4x}{(x^2+5)^2} = \frac{-4x^2 - 4x + 20}{(x^2+5)^2}$

(2) $y = (e^{2x}-1)^7$ を微分します。合成関数の微分を使います。

$y' = 7(e^{2x}-1)^6 \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}-1) = 7(e^{2x}-1)^6 \cdot 2e^{2x} = 14e^{2x}(e^{2x}-1)^6$

(3) $y = \log \frac{x+2}{(x^3+1)^6}$ を微分します。

$\log$ の性質より $y = \log(x+2) - 6\log(x^3+1)$

$y' = \frac{1}{x+2} - 6\frac{3x^2}{x^3+1} = \frac{1}{x+2} - \frac{18x^2}{x^3+1} = \frac{x^3+1 - 18x^2(x+2)}{(x+2)(x^3+1)} = \frac{x^3 + 1 - 18x^3 - 36x^2}{(x+2)(x^3+1)} = \frac{-17x^3 - 36x^2 + 1}{(x+2)(x^3+1)}$

(4) $y = (x^3+1) \cos(5x)$ を微分します。積の微分公式を使います。

$y' = (3x^2)\cos(5x) + (x^3+1)(-5\sin(5x)) = 3x^2\cos(5x) - 5(x^3+1)\sin(5x)$

2. (1) $\int \cos(5x) \cos(x) dx$ を計算します。積和の公式を使います。

$\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$

$\int \cos(5x) \cos(x) dx = \int \frac{1}{2}[\cos(6x) + \cos(4x)] dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{6}\sin(6x) + \frac{1}{4}\sin(4x)] + C = \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$

(2) $\int x^4 e^{x^5+2} dx$ を計算します。置換積分を使います。

$u = x^5 + 2$, $du = 5x^4 dx$

$\int x^4 e^{x^5+2} dx = \int \frac{1}{5} e^u du = \frac{1}{5}e^u + C = \frac{1}{5}e^{x^5+2} + C$

(3) $\int (x+1)\cos(7x) dx$ を計算します。部分積分を使います。

$u = x+1$, $du = dx$

$dv = \cos(7x) dx$, $v = \frac{1}{7}\sin(7x)$

$\int (x+1)\cos(7x) dx = (x+1)\frac{1}{7}\sin(7x) - \int \frac{1}{7}\sin(7x) dx = \frac{1}{7}(x+1)\sin(7x) + \frac{1}{49}\cos(7x) + C$

(4) $\int_1^3 (3x^2 + \frac{4}{x}) dx$ を計算します。

$\int_1^3 (3x^2 + \frac{4}{x}) dx = [x^3 + 4\log|x|]_1^3 = (3^3 + 4\log3) - (1^3 + 4\log1) = 27 + 4\log3 - 1 - 0 = 26 + 4\log3$

(5) $\int_0^1 e^{3x} dx$ を計算します。

$\int_0^1 e^{3x} dx = [\frac{1}{3}e^{3x}]_0^1 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3} = \frac{e^3 - 1}{3}$

(6) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin\frac{x}{2} + \cos(3x)) dx$ を計算します。

$\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin\frac{x}{2} + \cos(3x)) dx = [-2\cos\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\sin(3x)]_0^{\frac{\pi}{3}} = (-2\cos\frac{\pi}{6} + \frac{1}{3}\sin\pi) - (-2\cos0 + \frac{1}{3}\sin0) = -2\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 - (-2 + 0) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

1. (1) $y' = \frac{-4x^2 - 4x + 20}{(x^2+5)^2}$

(2) $y' = 14e^{2x}(e^{2x}-1)^6$

(3) $y' = \frac{-17x^3 - 36x^2 + 1}{(x+2)(x^3+1)}$

(4) $y' = 3x^2\cos(5x) - 5(x^3+1)\sin(5x)$

2. (1) $\frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$

(2) $\frac{1}{5}e^{x^5+2} + C$

(3) $\frac{1}{7}(x+1)\sin(7x) + \frac{1}{49}\cos(7x) + C$

(4) $26 + 4\log3$

(5) $\frac{e^3 - 1}{3}$

(6) $2 - \sqrt{3}$