次の3つの不定積分を求めます。 (i) $\int xe^{2x} dx$ (ii) $\int (2x+5)^9 dx$ (iii) $\int \tan x dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求めます。

(i) $\int xe^{2x} dx$

(ii) $\int (2x+5)^9 dx$

(iii) $\int \tan x dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int xe^{2x} dx$ (部分積分)

$u = x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となるので、

$$\int xe^{2x} dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$$

$$\int xe^{2x} dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$

(ii) $\int (2x+5)^9 dx$ (置換積分)

$u = 2x+5$ とすると、$du = 2 dx$ となるので、$dx = \frac{1}{2} du$

$$\int (2x+5)^9 dx = \int u^9 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^9 du$$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C = \frac{1}{20} u^{10} + C$$

$$= \frac{1}{20} (2x+5)^{10} + C$$

(iii) $\int \tan x dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから

$$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$$

$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ となるので、$-\sin x dx = du$

$$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} du$$

$$= -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C$$

$$= \ln |\sec x| + C$$

3. 最終的な答え

(i) $\int xe^{2x} dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$

(ii) $\int (2x+5)^9 dx = \frac{1}{20}(2x+5)^{10} + C$

(iii) $\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C = \ln |\sec x| + C$