定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin{\frac{x}{2}} + \cos{3x}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin{\frac{x}{2}} + \cos{3x}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin{\frac{x}{2}} + \cos{3x}) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\frac{x}{2}} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos{3x} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int \sin{\frac{x}{2}} dx = -2\cos{\frac{x}{2}} + C$

$\int \cos{3x} dx = \frac{1}{3}\sin{3x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\frac{x}{2}} dx = [-2\cos{\frac{x}{2}}]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -2\cos{\frac{\pi}{8}} - (-2\cos{0}) = -2\cos{\frac{\pi}{8}} + 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos{3x} dx = [\frac{1}{3}\sin{3x}]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{3}\sin{\frac{3\pi}{4}} - \frac{1}{3}\sin{0} = \frac{1}{3}\sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

合計すると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin{\frac{x}{2}} + \cos{3x}) dx = -2\cos{\frac{\pi}{8}} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin{\frac{x}{2}} + \cos{3x}) dx = -2\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{6} = -\sqrt{2+\sqrt{2}} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{6}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{2+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{6}$