## 問題の解答

## 問題の解答

以下に問題の解答を示します。

### 問題 2

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1. 問題の内容**

次の関数の導関数を求めます。

(1) $\sqrt[3]{x^4}$

(2) $(x-1)e^x$

(3) $\frac{1 + \log(3x)}{x}$

(4) $e^{\sqrt{x}}$

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2. 解き方の手順**

(1) $\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}$ なので、べき関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} (x^{\frac{4}{3}}) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。$u = x-1$, $v = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$ なので、

$\frac{d}{dx} ((x-1)e^x) = 1 \cdot e^x + (x-1) e^x = e^x + xe^x - e^x = xe^x$

(3) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。$u = 1 + \log(3x)$, $v = x$ とすると、$u' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ なので、

$\frac{d}{dx} (\frac{1 + \log(3x)}{x}) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1 + \log(3x)) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - 1 - \log(3x)}{x^2} = \frac{-\log(3x)}{x^2}$

(4) 合成関数の微分公式を使います。$u = \sqrt{x}$ とすると、$e^{\sqrt{x}} = e^u$ であり、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ なので、

$\frac{d}{dx} (e^{\sqrt{x}}) = \frac{d}{du} (e^u) \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

(2) $xe^x$

(3) $\frac{-\log(3x)}{x^2}$

(4) $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

### 問題 3

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1. 問題の内容**

次の不定積分と定積分の値を求めます。

(1) $\int 5x^3 \, dx$

(2) $\int \frac{4x}{x^2+1} \, dx$

(3) $\int_1^5 \frac{1}{x^2} \, dx$

(4) $\int_0^{\frac{1}{2}} xe^{2x} \, dx$

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2. 解き方の手順**

(1) $\int 5x^3 \, dx = 5 \int x^3 \, dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{5}{4} x^4 + C$

(2) $t = x^2 + 1$ と置換すると、$dt = 2x \, dx$ なので、$2 \, dt = 4x \, dx$ となります。

$\int \frac{4x}{x^2+1} \, dx = \int \frac{2}{t} \, dt = 2 \log |t| + C = 2 \log |x^2 + 1| + C = 2\log(x^2+1) + C$（$x^2+1$ は常に正なので絶対値は不要）。

(3) $\int_1^5 \frac{1}{x^2} \, dx = \int_1^5 x^{-2} \, dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_1^5 = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^5 = -\frac{1}{5} - (-1) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

(4) 部分積分を行います。$\int xe^{2x} \, dx$ において、$u = x$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。

$\int xe^{2x} \, dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$

$\int_0^{\frac{1}{2}} xe^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 \cdot \frac{1}{2}} - \frac{1}{4} e^{2 \cdot \frac{1}{2}} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot e^{2 \cdot 0} - \frac{1}{4} e^{2 \cdot 0} \right) = \frac{1}{4}e - \frac{1}{4}e + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{5}{4} x^4 + C$

(2) $2\log(x^2+1) + C$

(3) $\frac{4}{5}$

(4) $\frac{1}{4}$