与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1}$$

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ を代入してみると、分子は $1 - 3 + 4 - 2 = 0$、分母は $1 - 1 = 0$ となり、不定形$\frac{0}{0}$となります。したがって、ロピタルの定理または因数分解を利用して極限を計算します。ここでは因数分解を利用します。

分子 $x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ は $x=1$ で $0$ となるので、$x-1$ を因数に持ちます。組み立て除法を用いて因数分解すると、

$$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)(x^2 - 2x + 2)$$

となります。

分母 $x^2 - 1$ は因数分解できて、

$$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$

となります。

したがって、

$$\frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x^2 - 2x + 2)}{(x-1)(x+1)}$$

$x \neq 1$ のとき、

$$\frac{x^2 - 2x + 2}{x+1}$$

となるので、

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 2}{x+1}$$

$x=1$ を代入すると、

$$\frac{1^2 - 2(1) + 2}{1+1} = \frac{1 - 2 + 2}{2} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2}$$