与えられた関数の極値を求めます。問題は2つあります。 (1) $y = (x^2 - 3x + 1)e^x$ (2) $y = 3x^4 - 8x^3$

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求めます。問題は2つあります。

(1) $y = (x^2 - 3x + 1)e^x$

(2) $y = 3x^4 - 8x^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 - 3x + 1)e^x$

まず、導関数 $y'$ を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x^2 - 3x + 1$, $u' = 2x - 3$

$v = e^x$, $v' = e^x$

したがって、

$y' = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x = (x^2 - x - 2)e^x = (x - 2)(x + 1)e^x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$e^x$ は常に正なので、$(x - 2)(x + 1) = 0$ となる $x$ を探します。

$x = 2, -1$

次に、増減表を作ります。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -1$ のとき、$y = ((-1)^2 - 3(-1) + 1)e^{-1} = (1 + 3 + 1)e^{-1} = 5e^{-1} = \frac{5}{e}$

$x = 2$ のとき、$y = ((2)^2 - 3(2) + 1)e^{2} = (4 - 6 + 1)e^{2} = -e^{2}$

(2) $y = 3x^4 - 8x^3$

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 12x^3 - 24x^2 = 12x^2(x - 2)$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2(x - 2) = 0$ より、$x = 0, 2$

次に、増減表を作ります。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| y' | - | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^4 - 8(0)^3 = 0$

$x = 2$ のとき、$y = 3(2)^4 - 8(2)^3 = 3(16) - 8(8) = 48 - 64 = -16$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$ のとき、極大値 $\frac{5}{e}$

$x = 2$ のとき、極小値 $-e^2$

(2) $x = 2$ のとき、極小値 $-16$

$x = 0$ のとき、極値を持たない