与えられた8つの不定積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの不定積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\int (2x^3 + 3x^2 - x + 2) dx$

各項ごとに積分を行います。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ -1) を用います。

$\int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int -x dx = - \int x dx = - \frac{x^2}{2}$

$\int 2 dx = 2x$

(2) $\int \frac{2x-3}{x^2} dx$

被積分関数を整理します。

$\frac{2x-3}{x^2} = \frac{2x}{x^2} - \frac{3}{x^2} = \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} = \frac{2}{x} - 3x^{-2}$

各項ごとに積分を行います。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ を用います。

$\int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln |x|$

$\int -3x^{-2} dx = -3 \int x^{-2} dx = -3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 3x^{-1} = \frac{3}{x}$

(3) $\int 2^x dx$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を用います。

$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

(4) $\int (3\sin x - 2\cos x) dx$

各項ごとに積分を行います。

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int 3\sin x dx = 3 \int \sin x dx = -3 \cos x$

$\int -2\cos x dx = -2 \int \cos x dx = -2 \sin x$

(5) $\int (3x+4)^5 dx$

$u = 3x+4$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = 3$ より $dx = \frac{1}{3} du$

$\int (3x+4)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^5 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} = \frac{u^6}{18} = \frac{(3x+4)^6}{18} + C$

(6) $\int e^{2x-3} dx$

$u = 2x-3$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2} du$

$\int e^{2x-3} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u = \frac{1}{2} e^{2x-3} + C$

(7) $\int \sin 4x dx$

$u = 4x$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = 4$ より $dx = \frac{1}{4} du$

$\int \sin 4x dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \sin u du = \frac{1}{4} (-\cos u) = -\frac{1}{4} \cos 4x + C$

(8) $\int \frac{1}{3x+2} dx$

$u = 3x+2$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = 3$ より $dx = \frac{1}{3} du$

$\int \frac{1}{3x+2} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| = \frac{1}{3} \ln |3x+2| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^4}{2} + x^3 - \frac{x^2}{2} + 2x + C$

(2) $2 \ln |x| + \frac{3}{x} + C$

(3) $\frac{2^x}{\ln 2} + C$

(4) $-3 \cos x - 2 \sin x + C$

(5) $\frac{(3x+4)^6}{18} + C$

(6) $\frac{1}{2} e^{2x-3} + C$

(7) $-\frac{1}{4} \cos 4x + C$

(8) $\frac{1}{3} \ln |3x+2| + C$