関数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ が与えられています。$f(x)$ と $g(x)$ は場合分けによって定義され、$h(x) = g(f(x))$ です。 (1) $y = f(x)$ のグラフを描き、 (2) $h(2)$ の値を求め、 (3) $y = h(x)$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ が与えられています。$f(x)$ と $g(x)$ は場合分けによって定義され、$h(x) = g(f(x))$ です。

(1) $y = f(x)$ のグラフを描き、

(2) $h(2)$ の値を求め、

(3) $y = h(x)$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ のグラフを描く。

$x < 0$ のとき、$f(x) = x - 1$ です。これは傾き1、切片-1の直線です。

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = -x + 2$ です。これは傾き-1、切片2の直線です。

それぞれの範囲でグラフを描きます。

(2) $h(2)$ の値を求める。

$h(x) = g(f(x))$ なので、$h(2) = g(f(2))$ を計算します。

まず、$f(2)$ を求めます。$2 \geq 0$ なので、$f(2) = -2 + 2 = 0$ です。

次に、$g(f(2)) = g(0)$ を求めます。$0 \leq 0$ なので、$g(0) = -2 \times 0 = 0$ です。

したがって、$h(2) = 0$ です。

(3) $y = h(x)$ のグラフを描く。

$h(x) = g(f(x))$ です。

$f(x)$ の場合分けによって、$h(x)$ の場合分けを考えます。

$f(x) \leq 0$ のとき、$g(f(x)) = -2f(x)$ となり、$f(x) > 0$ のとき、$g(f(x)) = 2f(x) + 3$ となります。

$x < 0$ のとき、$f(x) = x - 1$ です。$x - 1 \leq 0$ となるのは $x \leq 1$ のときです。したがって、$x < 0$ なら $x \leq 1$ なので、$f(x) \leq 0$ であり、$h(x) = -2(x - 1) = -2x + 2$ です。

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = -x + 2$ です。$-x + 2 \leq 0$ となるのは $x \geq 2$ のときです。$x \geq 2$ なら $h(x) = -2(-x + 2) = 2x - 4$ です。$0 \leq x < 2$ なら $h(x) = 2(-x + 2) + 3 = -2x + 4 + 3 = -2x + 7$ です。

したがって、$h(x)$ は

$x < 0$ のとき、$h(x) = -2x + 2$

$0 \leq x < 2$ のとき、$h(x) = -2x + 7$

$x \geq 2$ のとき、$h(x) = 2x - 4$

となります。

それぞれの範囲でグラフを描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = f(x)$ のグラフは、$x < 0$ で $y = x - 1$ 、$x \geq 0$ で $y = -x + 2$ となるグラフ。

(2) $h(2) = 0$

(3) $y = h(x)$ のグラフは、$x < 0$ で $y = -2x + 2$、$0 \leq x < 2$ で $y = -2x + 7$、$x \geq 2$ で $y = 2x - 4$ となるグラフ。