与えられた関数 $y = \log\frac{2\sin x + 1}{2\cos x + 1}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log\frac{2\sin x + 1}{2\cos x + 1}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log\frac{2\sin x + 1}{2\cos x + 1}$ を微分します。

対数の性質を利用して、$y$ を次のように変形します。

$y = \log(2\sin x + 1) - \log(2\cos x + 1)$

次に、各項を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\log(2\sin x + 1)] - \frac{d}{dx} [\log(2\cos x + 1)]$

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{d}{dx} [\log(2\sin x + 1)] = \frac{1}{2\sin x + 1} \cdot \frac{d}{dx} (2\sin x + 1) = \frac{1}{2\sin x + 1} \cdot (2\cos x) = \frac{2\cos x}{2\sin x + 1}$

同様に、

$\frac{d}{dx} [\log(2\cos x + 1)] = \frac{1}{2\cos x + 1} \cdot \frac{d}{dx} (2\cos x + 1) = \frac{1}{2\cos x + 1} \cdot (-2\sin x) = \frac{-2\sin x}{2\cos x + 1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos x}{2\sin x + 1} - \frac{-2\sin x}{2\cos x + 1} = \frac{2\cos x}{2\sin x + 1} + \frac{2\sin x}{2\cos x + 1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos x(2\cos x + 1) + 2\sin x(2\sin x + 1)}{(2\sin x + 1)(2\cos x + 1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4\cos^2 x + 2\cos x + 4\sin^2 x + 2\sin x}{4\sin x \cos x + 2\sin x + 2\cos x + 1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4(\cos^2 x + \sin^2 x) + 2(\cos x + \sin x)}{4\sin x \cos x + 2(\sin x + \cos x) + 1}$

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を用いて整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{4 + 2(\sin x + \cos x)}{4\sin x \cos x + 2(\sin x + \cos x) + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4 + 2(\sin x + \cos x)}{4\sin x \cos x + 2(\sin x + \cos x) + 1}$