関数 $y = (x^3 + 1) \cos 5x$ の微分 $dy/dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 1) \cos 5x$ の微分 $dy/dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用する。

ここで、$u = x^3 + 1$、$v = \cos 5x$ とすると、

$u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2$

$v' = \frac{d}{dx}(\cos 5x) = -5 \sin 5x$

したがって、積の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(x^3 + 1) \cos 5x] = (x^3 + 1)' \cos 5x + (x^3 + 1) (\cos 5x)'$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos 5x + (x^3 + 1)(-5 \sin 5x)$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos 5x - 5(x^3 + 1) \sin 5x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos 5x - 5(x^3 + 1) \sin 5x$