与えられた関数について、増減表を作成し、極値を求める問題です。関数は以下の2つです。 (1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$ (2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

1. 問題の内容

与えられた関数について、増減表を作成し、極値を求める問題です。関数は以下の2つです。

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$の場合

1. 定義域を求める: $\sqrt{x}$があるので、$x \geq 0$。また、分母が0にならないように、$x \neq -2$。よって、定義域は$x \geq 0$。

2. 導関数を求める:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+2) - \sqrt{x}(1)}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - 2x}{2\sqrt{x}(x+2)^2} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$

3. $y' = 0$となる$x$を求める:

$2-x = 0$より、$x = 2$

4. 増減表を作成する:

| x | 0 | ... | 2 | ... | $\infty$ |

|------|---|-----|---|-----|----------|

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↑ | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | ↓ | 0 |

5. 極値を求める:

$x = 2$のとき、極大値 $y = \frac{\sqrt{2}}{2+2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$x = 0$のとき、極小値 $y = 0$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$の場合

1. 導関数を求める:

$y' = -x^3 + 3x^2 + 10x = -x(x^2 - 3x - 10) = -x(x-5)(x+2)$

2. $y' = 0$となる$x$を求める:

$-x(x-5)(x+2) = 0$より、$x = -2, 0, 5$

3. 増減表を作成する:

| x | $-\infty$ | ... | -2 | ... | 0 | ... | 5 | ... | $\infty$ |

|------|-----------|-----|----|-----|---|-----|---|-----|----------|

| y' | + | | 0 | - | 0 | + | 0 | - | - |

| y | - | ↑ | 4 | ↓ | 0 | ↑ | $\frac{175}{4}$ | ↓ | $-\infty$ |

4. 極値を求める:

$x = -2$のとき、極大値 $y = -\frac{1}{4}(-2)^4 + (-2)^3 + 5(-2)^2 = -4 - 8 + 20 = 8 - 4 = 4$

$x = 0$のとき、極小値 $y = 0$

$x = 5$のとき、極大値 $y = -\frac{1}{4}(5)^4 + (5)^3 + 5(5)^2 = -\frac{625}{4} + 125 + 125 = -\frac{625}{4} + 250 = \frac{-625 + 1000}{4} = \frac{375}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$の場合：

極大値: $x=2$のとき、$\frac{\sqrt{2}}{4}$

極小値: $x=0$のとき、$0$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$の場合：

極大値: $x=-2$のとき、$4$

極大値: $x=5$のとき、$\frac{375}{4}$

極小値: $x=0$のとき、$0$