次の2つの曲線の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。 (1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$ (2) $y = e^{-2x^2}$

1. 問題の内容

次の2つの曲線の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$

(2) $y = e^{-2x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$ の場合

まず、定義域を確認します。$x \neq 0$ です。

次に、1階微分と2階微分を計算します。

$y' = 2x - \frac{1}{2x^2}$

$y'' = 2 + \frac{1}{x^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 + \frac{1}{x^3} = 0$

$\frac{1}{x^3} = -2$

$x^3 = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

次に、$y''$ の符号を調べます。

$x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$x > 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

変曲点は、$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のときです。

$y = (-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 + \frac{1}{2(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})} = \frac{1}{2^{2/3}} - \frac{1}{2} 2^{1/3} = \frac{1}{2^{2/3}} - \frac{2^{1/3}}{2} = \frac{1}{2^{2/3}} - \frac{2^{1/3}}{2} = \frac{2 - 2 \cdot 2^{2/3}}{2\cdot2^{2/3}} = \frac{2-2^{5/3}}{2^{5/3}}$

(2) $y = e^{-2x^2}$ の場合

まず、1階微分と2階微分を計算します。

$y' = -4xe^{-2x^2}$

$y'' = -4e^{-2x^2} + (-4x)(-4x)e^{-2x^2} = -4e^{-2x^2} + 16x^2e^{-2x^2} = (16x^2 - 4)e^{-2x^2}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$(16x^2 - 4)e^{-2x^2} = 0$

$e^{-2x^2} > 0$ なので、$16x^2 - 4 = 0$

$16x^2 = 4$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{1}{2}$

次に、$y''$ の符号を調べます。

$x < -\frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

変曲点は、$x = \pm \frac{1}{2}$ のときです。

$x = \pm \frac{1}{2}$ のとき、$y = e^{-2(\pm \frac{1}{2})^2} = e^{-2(\frac{1}{4})} = e^{-\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1)

上に凸: $x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

下に凸: $-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < x < 0$, $x > 0$

変曲点: $(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{2-2^{5/3}}{2^{5/3}})$

(2)

下に凸: $x < -\frac{1}{2}$, $x > \frac{1}{2}$

上に凸: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

変曲点: $(-\frac{1}{2}, e^{-\frac{1}{2}})$, $(\frac{1}{2}, e^{-\frac{1}{2}})$