与えられた２つの関数 $f(x, y)$ について、原点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題です。 (1) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{|x||y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ (2) $f(x,y) = \begin{cases} xy \arcsin(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}) & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた２つの関数 $f(x, y)$ について、原点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題です。

(1)

$f(x,y) = \begin{cases}

\frac{|x||y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}$

(2)

$f(x,y) = \begin{cases}

xy \arcsin(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}) & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

次に、$f(x, y)$ が全微分可能であると仮定すると、

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \epsilon(x,y) \sqrt{x^2 + y^2}$

ここで、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$ である必要があります。

$f(x,y) = 0 + 0x + 0y + \epsilon(x,y) \sqrt{x^2 + y^2} = \epsilon(x,y) \sqrt{x^2 + y^2}$

$\epsilon(x,y) = \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{|x||y|}{x^2 + y^2}$

極座標で考えると、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ なので、

$\epsilon(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2|\cos\theta \sin\theta|}{r^2} = |\cos\theta \sin\theta| = \frac{1}{2}|\sin(2\theta)|$

$\lim_{r \to 0} \epsilon(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{1}{2}|\sin(2\theta)|$

この値は $\theta$ に依存するので、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$ とはなりません。

したがって、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能ではありません。

(2)

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

次に、$f(x, y)$ が全微分可能であると仮定すると、

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \epsilon(x,y) \sqrt{x^2 + y^2}$

ここで、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$ である必要があります。

$f(x,y) = 0 + 0x + 0y + \epsilon(x,y) \sqrt{x^2 + y^2} = \epsilon(x,y) \sqrt{x^2 + y^2}$

$\epsilon(x,y) = \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{xy \arcsin(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

極座標で考えると、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ なので、

$\epsilon(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \arcsin(\frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r^2})}{r} = r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos(2\theta))$

$\lim_{r \to 0} \epsilon(r\cos\theta, r\sin\theta) = \lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos(2\theta)) = 0$

したがって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$ が成立するため、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能です。

3. 最終的な答え

(1) 全微分可能ではない

(2) 全微分可能