与えられた微分方程式 $2 \frac{dy}{dx} + y = 2$ を、初期条件 $y(0) = 1$ のもとで解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $2 \frac{dy}{dx} + y = 2$ を、初期条件 $y(0) = 1$ のもとで解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を標準形に書き換える。

$2 \frac{dy}{dx} + y = 2$

両辺を2で割ると、

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2} y = 1$

これは1階線形微分方程式である。

積分因子 $\mu(x)$ は以下のように計算される。

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{2} dx} = e^{\frac{1}{2}x}$

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛ける。

$e^{\frac{1}{2}x} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x} y = e^{\frac{1}{2}x}$

左辺は積の微分で表せる。

$\frac{d}{dx}(y e^{\frac{1}{2}x}) = e^{\frac{1}{2}x}$

両辺を積分する。

$\int \frac{d}{dx}(y e^{\frac{1}{2}x}) dx = \int e^{\frac{1}{2}x} dx$

$y e^{\frac{1}{2}x} = 2 e^{\frac{1}{2}x} + C$

$y = 2 + C e^{-\frac{1}{2}x}$

初期条件 $y(0) = 1$ を代入する。

$1 = 2 + C e^{-\frac{1}{2}(0)}$

$1 = 2 + C$

$C = -1$

したがって、微分方程式の解は次のようになる。

$y = 2 - e^{-\frac{1}{2}x}$

3. 最終的な答え

$y = 2 - e^{-\frac{1}{2}x}$