$y = \log \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ ($0 < x < \pi$) を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \log \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ ($0 < x < \pi$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\log$ の性質を使って式を簡単にします。

$\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ を利用すると、

$y = \log(1-\cos x) - \log(1+\cos x)$

となります。

次に、各項を微分します。$\frac{d}{dx}\log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を利用します。

$\frac{d}{dx} \log(1-\cos x) = \frac{1}{1-\cos x} \cdot (\sin x) = \frac{\sin x}{1-\cos x}$

$\frac{d}{dx} \log(1+\cos x) = \frac{1}{1+\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{1+\cos x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{1-\cos x} - \left(-\frac{\sin x}{1+\cos x}\right) = \frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{\sin x}{1+\cos x}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x(1+\cos x) + \sin x(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{1-\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{1-\cos^2 x}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$1-\cos^2 x = \sin^2 x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin x}$